(Не)случайные процессы. Как математики предсказывают распространение вирусов и результаты выборов

Всем привет! Меня зовут Самат Галимов, и это подкаст «Запуск завтра». Как технический директор я пытаюсь разобраться, как устроены сложные и интересные штуки. Я зову профессионала, с которым можно поговорить простым человеческим языком. Все случайности не случайны. Вы наверняка слышали эту фразу, и звучит она как патентованный бред. На самом деле в ней есть зерно истины. Сегодня мы поговорим о блужданиях пьяницы. Задача пьяницы или задача случайных блужданий позволяет нам понять огромное количество вещей о нашем обычном мире, начиная с того, каким красивым облачком растекается капля молока в кофе, и заканчивая тем, как распространяются болезни, например, COVID-19 по популяции. Сегодня мы разберёмся, как учёные анализируют, иногда даже предсказывают случайные процессы, и как это всё применяется в нашей обычной жизни. Это подкаст студии либо-либо, и сделали мы его вместе с сервисом онлайн-образования Яндекс Практикум. У Практикума есть курсы не только для начинающих, но и для тех, кто уже умеет программировать. Например, устроитесь в большую компанию, то вам, скорее всего, там придется иметь дело с микросервисами. Разобраться в них, вообще даже в том, как они в принципе устроены, довольно сложно, и лучше всего делать это на примерах. Именно из таких примеров и состоит курс Middle Python разработчик. о том, какие практические задачи вы будете решать на этом курсе, расскажет наставник Роман Володин.

Современные реалии таковы, что вся разработка, backend, frontend и так далее, всё последнее время стараются базироваться на так называемой микросервисной архитектуре, где есть чёткое разделение функционал и решаемых задач различными микросервисами, которые потом выстраиваются в общее приложение и оркеструются в какой-либо там системе. И мы все спринты пишем отдельные микросервисы всего одного общего глобального проекта под названием кинотеатр. У нас там есть сервис выдачи контента, который отдает фильм, информация о фильмах. У нас есть сервис авторизации, который позволяет авторизоваться и потом ходить в остальные сервисы. У нас есть UGC-сервис, сервис контента, генерированного пользователем и так далее. Студентов знаний вполне хватает для того, чтобы вот это все реализовать. И после того, как реализовано, огромный стек микросервисов, который по большому счету является самостоятельной боевой единицей. Они взяли этот микросервис, отнесли к себе на работу, там подключили, все начинает работать. Профит, польза всем, и все довольны.

Если вы хотите этому научиться, то Яндекс Практикум. Ссылка на курс в описании к этому эпизоду.

Всем привет, меня зовут Люба. Я математик по образованию. Я работаю в Bell Labs и работаю в институте, который называется CRI.

Люба, можешь рассказать, что вообще за задача пьяницы? Как задача звучит?

Вообще она звучит очень просто. И как очень часто бывает в математике, когда просто сформулирована задача, она очень сложно решается, и открываются несколько математических областей для того, чтобы её решить. То есть если у нас есть какая-то частица, в этом случае мы можем называть её пьяницей, да, частица, пьяница, всё то же самое, она перемещается определённым способом. Она может идти по решётке, перемещаться по решётке вверх, вверх-вниз, вправо-влево и больше никуда за один шаг. Потом человек, пьяница или эта частица, мы можем также перемещаться из другой точки, куда мы попали, опять вправо-влево, вверх-вниз, но абсолютно не помня, куда мы пошли, откуда мы вышли. Поэтому он, на самом деле, занимается задачей пьяницы, потому что у нас нет никакой памяти. И вот эти беспамятные процессы, в математике мы часто их называем марковскими, задача стоит в том, чтобы вот у этого пьяницы сказать с определенной уверенностью, где и когда мы сможем найти этого пьяницу? Вообще он когда-нибудь вернётся обратно, например? Или с какой скоростью он будет отдаляться от того же места, от которого он начал?

То есть задача в том, чтобы предсказать вот эти случайные движения, куда они выведут эту точку, этого пьяницу.

Да, появилась статья в 1905 году в таком неизвестном журнале Nature. Была сформулирована Пирсоном. И, соответственно, я публикую какой-то результат, Пирсен публикует результат, и мы друг другу пишем, что «О, смотри, задача частицы, которая куда-то идёт». каким-то очень случайным образом, она очень похожа на задачу про диффузию, которую наблюдал Браун, потому что Браун наблюдал, как на самом деле в воде, в водянистой среде диффузируют какие-то тоже системы. Вот у нас есть частица, допустим, мы завариваем чай, да, и чаинку, и, допустим, мы будем говорить, что у нас она такой чай двухмерный, то есть у нас есть Это просто, да, как в математике всегда какие-то абсурдные констракты. У нас есть двухмерный чай, и чайинка, она у нас, соответственно, может каким-то образом перемещаться вот в этом пространстве водном, в котором мы будем всё это заваривать. А это называется диффузия. Это сейчас мы знаем с высоты наших знаний, а тогда мы не знали этого. И эти траектории, если на самом деле разобраться по физике и математике, мы на самом деле и будем наблюдать, если мы будем растворять вот этот чай в двухмерной какой-то нашей чашке. То есть на самом деле интересно было то, что в начале века люди смогли найти аналогию между аналогиями. И это то, чем занимается математика. В математике мы очень часто делаем аналогии не между процессами, а между какими-то другими аналогиями. То есть такая мета-мета.

Скажи, пожалуйста, а это... Я вот очень хорошо понимаю про... Давайте попробуем объяснить, почему чай именно такими красивыми штуками расползается в воде. Скажи, это интерес такого еще с 19 века джентльмена, которому просто делать нечего, и он такой думает, блин, как будет... Чего бы еще интересного описать? Чего бы еще понять? Или это была какая-то промышленная задача?

Во-первых, это было время больших открытий, и люди смотрели в Nature журнал. Какие новые открытия или наблюдения, физические наблюдения в том смысле, нужно объяснить?

Серьезно, что ли? То есть ты открываешь журнал и смотришь. Ага, люди очень четко описали, как частички чая двигаются в воде.

Конечно.

Теперь нужно придумать, почему они так двигаются.

Конечно, грубо говоря, когда у меня сейчас есть какая-нибудь статья, я вижу статьи, например, социологи опубликовали какой-то open data set, да, какие-то очень интересные данные, да, они открыты, и все-все-все в мире могут сейчас их анализировать и строить свои модели.

похожая штука, люди описывают внешний мир, просто записывают, что происходит.

Конечно.

А дальше математики садятся и придумывают модель, которая бы это объясняла.

Тут на самом деле очень интересно, очень много скоплений, пересечений, всяких историй. Этот год, на самом деле, был известен еще и другой статьей, из известного ученого Альберта Эйнштейна. Очень многие люди думают о том, что он получил вот эту свою премию Нобелевскую за исследование только по теории относительности, но на самом деле все гораздо сложнее, и на самом деле его изучение конкретно вот этих процессов диффузионных, они были его главным вкладом. Эйнштейн там потрясающим языком объясняет, что вот, знаете, вот у меня вот есть такая идея, что вот если у нас на самом деле состоит из молекул, то есть вот ту диффузию в чае, которую мы наблюдаем, она на самом деле хорошо очень ложится, всё вот это в нашу модель мира, того, что на самом деле всё состоит из частиц, таких маленьких, и они вот в эту частицу, то есть частицы воды ударяют в частицы чая очень-очень много раз. И из-за того, что они ударяются, они начинают смещать этого человека, который пьянится, или вот эту частицу, чайинку. И из-за этого, на самом деле, она и двигается.

То есть броуновским движением.

Да, да. То есть то, что мы записываем на очень хороший микроскоп, на камеру, на самом деле является результатом вот этого ударения. Они бьются друг от друга. То есть, конечно, красота вот этой задачи была в том, что тогда Эйнштейн уже, в принципе, у него была какая-то очень хорошая сложная идея в голове. Более того, был не только Эйнштейн, был ещё Смолуховский, польский тоже небезызвестный учёный, в честь которого до сих пор каждый год организуют конференции на эту тему, где съезжается огромное количество людей, учёных, которые наблюдают диффузию в разных средах, потому что, на самом деле, эта тема диффузии, в ней очень много до сих пор неизвестных математических и аналитических результатов.

Вот эта задача с чаем. Что является решением этой задачи?

есть несколько результатов наблюдений, и эти наблюдения давали очень интересные оценочные кривые времени, которые затрачивает частица для того, чтобы выйти из одного места и дойти до какого-то другого места. Если у нас есть секундомер, и мы говорим, что отсчитываем шаги, то есть у нас есть, например, t шагов, то за это время какое в среднем расстояние будет Пройдено.

Здесь не количество шагов, а как далеко он отдалится от начальной точки.

Да-да-да, как он отдалится? Понятно, что дальше, чем t шагов, он не может.

Потому что если бы он все время шел в одну сторону, то он шел бы на t шагов.

Да, естественно.

Учитывая, что он ходит случайно и налево, и направо, я бы подумал, если это плоскость, даже не плоскость, а прямая, я бы сказал, что t пополам, потому что он половину времени налево, половину направо.

Да, именно вот так вот и рассуждают обычно математики. То есть, вначале, если у тебя огромная плоскость или, не дай Бог, трёхмерное пространство, то сложно задачу решать. Можно остаться вообще на плоскости и подумать, куда будет попадать наш пьяница. Мы на самом деле делаем следующую вещь. Пишем деревья для того, чтобы нашу вероятность попадания куда-то рассчитать. То есть мы просто начинаем рассчитывать вероятность того, что у нас пьяница может попасть влево или вправо за один шаг. У нас может попасть или влево, с вероятностью одна-вторая, или вправо, с вероятностью одна-вторая. Потом мы заследовательно спускаемся на шаг вниз, то есть в смысле по времени на шаг вниз.

А из этой точки уже смотрим, куда

можно, и опять добавляем. Да, из этой точки, куда мы можем, если мы были влево, мы можем попасть или влево, или вправо опять. То есть получается, что мы или можем вернуться, куда мы вышли, Или мы можем пойти влево. Вероятность попасть влево, конечно, будет меньше, потому

что... Уже одна четвёртая, я так понимаю.

Одна четвёртая, да. А вероятность попасть внутрь, вернуться даже, она будет одна вторая, потому что она складывается из-за того, чтобы попасть Слева и справа. Слева и справа, правильно. То есть мы, на самом деле, должны будем подсчитывать вот эти огромные деревья. И если вы когда-либо пытались решать вот эти очень красивые уравнения, когда мы решаем, раскрываем скобочки a плюс b в квадрате, в третьей степени, в четвертой степени и так далее, вот этот Муавр, да, тоже небезызвестный, он тоже рассчитывал вот эти все уравнения и коэффициенты при уравнении, и оказывается, они будут давать нам вероятности, вероятность попадания в какую-то точку.

Я понял идею про то, что давай обозначим клеточками вот эти пространства вокруг, и будем моделировать ходьбу этого пьяницы, и сначала напишем там типа влево одна вторая, направо одна вторая, дальше встаем как будто мы уже там стоим, и опять раскладываем эти вероятности, складываем типа в коробочки. Да, именно так. И вот у нас вероятности получились. Что там про раскрытие скобочки, я не понял?

Про раскрытие скобочки на самом деле это просто... В математике очень часто ты применяешь твою какую-то интуицию по аналогии с другими известными системами, где коэффициенты, которые у тебя бы выявлялись бы при каждом из слагаемых, они бы у тебя каким-то образом математически вычислялись. Условно говоря, вот эти коэффициенты, которые у тебя получаются при каждом вычислении вероятности, то

есть одна четвёртая... Когда a плюс b

в какой-то большой степени.

Да, да. То есть нам, на самом деле, нужно, по сути дела, раскрыть скобочки вот такого уравнения, где мы должны поверить на слово сейчас. Потому что, на самом деле, это было бы проще бы написать.

Что коэффициенты после раскрытия скобок будут такие же, как распределение вероятности ухождения пьяницы? Получается, что мы можем, скорее всего, для двух-трех шагов руками прямо посмотреть, и окажется, что оно совпадает.

Да, оно, оказывается, совпадает.

Есть какое-то объяснение, почему оно совпадает всегда.

Да. Это удивительно, но это так. На самом деле, когда мы взимаемся в теории вероятности, в теории вероятности очень важно, она очень-очень связана с комбинаторикой. Сколько раз будет встречаться одинаковым образом какие-то члены? Если ты пойдёшь навлево, это будет как бы А, если пойдёшь направо, это будет B, если ты пойдёшь налево, потом направо, это будет AB, если пойдёшь направо и налево, это будет ABB. То есть вот это вот кодирование этого, если мы будем действительно это всё очень аккуратно считать, то оказывается, что пьяница оказывается через время t в среднем на расстоянии square root of t. То есть у нас будет t…

Квадратный корень.

Да, квадратный корень.

Спасибо. Ну это просто круг, на самом деле. Типа круг чертишь вокруг циркулем, и вот это и будет.

Да, но этот круг должен быть, соответственно, с таким радиусом, который будет... А, с радиусом квадратный корень. Да, корень квадратный. Было очень важно, что люди поняли, что есть очень много природных систем, которые не пьяницы, которые не какие-то частицы, а, например, тупо просто распределение роста в школе у детей. Даже, простите, не роста, а именно разница ростов, потому что это такая величина, которая будет нормальным образом распределена. Может быть, вы это слышали. Вы это слышите, наверное, везде. Каждый день говорят все про нормальное распределение. Или там в выборах тоже все говорят, вот если нормального распределения нет, значит, всё не так. На самом деле нормальное распределение, оно тоже имеет отношение к этой задаче. И люди просто наблюдали. Вот странно получается, что в среднем рост, он как-то различается как-то очень нормально.

Люба, это нормально, к сожалению, тот знаменитый график, где в серединке горочка, и по бокам она уходит.

Да, может быть, знаешь, если мы раскроем, условно говоря, наши скобки, у нас будут коэффициенты каких-то членов, которые... Сначала будет много, а потом будет поменьше, поменьше, поменьше, поменьше. Или, допустим, когда, знаете, если вы сеете сито, условно говоря, двухмерное, в смысле двухмерное, которое у нас есть, доска Гальтона, может быть, знаете, когда вот Да,

нужно описать, как это выглядит. Короче, сверху насыпаете много шариков, и перед ними стоят случайные штырёчки, шарики, чтобы могли случайно отбиваться, то они всегда будут насыпаться именно в формате вот такой горочки. В центре побольше, по бокам поменьше.

Да, и на самом деле, что интересно, что вне зависимости от того, какие шарики, моменты будут различаться, но что интересно, это опять-таки тот же случайный процесс. На самом деле, красота этой всей науки про случайный процесс в том, что возьмешь ты пианицу или ты возьмешь частицу риса, который будет падать в эту систему, где у тебя есть вероятность пойти направо или налево, то это всё будет одно и то же. Одно и то же в том смысле, что у тебя будет это распределяться по какому-то очень определенному моменту. И опять-таки диаметр, да, то есть вот ты говорил про тот радиус, на который может упасть в среднем. Рисинка, если мы начинаем откуда-то сверху, то он будет тоже распределен с рядом 7 корень квадратный от t. В этом случае это будет величина, сколько по времени мы, например, сыпем это.

Я хочу зафиксировать это достижение наше, что, получается, мы, описав вот эту задачу пьяниц и блужданий. Поняли, что результат получается примерно такой же, как при раскрытии скобок. И дальше говорим, это не только про одну частицу. Если посмотреть много частиц, то из этого получается то, как устроен мир вокруг нас. Например, когда, типа, случайным образом раскидываешь шарики, как они будут приземляться. Каждая отдельная частица, типа, мы не знаем, она случайна, но закономерность большого количества— это, типа, суперпредсказуемая штуковина.

Да, фактически это описывает более, скажем так, определённое количество случайных процессов. Почему я говорю «определённое»? Потому что вот мы доказали, допустим, вот этот результат. Может быть, это верно и в каком-нибудь трёхмерном тоже пространстве. Но на самом деле всё, к сожалению, не так просто, потому что когда мы начинаем добавлять какое-то количество измерений, то есть решение, оно опять-таки будет пропорционально square root of t, то есть как корни квадратного, но какие-то свойства будут абсолютно другими. Допустим, что пьяница вернётся в ноль, то есть в ту точку, с которой он начал, когда мы находимся в двухмерии, то есть он идёт влево или вправо, она не нулевая.

На прямой, по-моему.

Да-да-да, он уходит только по прямой, то есть он уходит налево, направо и всё, больше никуда.

В такой ситуации он наверняка вернётся домой.

Он наверняка вернётся в ноль. Да, я на самом деле могу эту вероятность просто посчитать. То есть она будет не нулевая. А вот когда мы уходим даже в трёхмерию, то есть, условно говоря, у нас есть пьяная птица, да, и она летит, соответственно, из каждой клетки, она может или вверх, или вниз, вправо, влево. В ней вероятность того, что она вернётся в ту же точку, она будет близка к нулю. То есть это на самом деле абсолютно меняет. абсолютно полностью, всю систему. И это говорит тоже, собственно, о том, что если, допустим, мы говорим о системе какой-то, где у нас есть какое-нибудь фазовое пространство, мы там, не знаю, предсказываем на бирже, как цены будут изменяться, то тогда всё это не будет работать, цены не будут возвращаться в ноль, они совершенно будут по каким-то другим законам работать. И это, на самом деле, очень важно, потому что через изучение процессов очень важные вещи сейчас дали как бы основу потом для определенных моделей предсказаний. То есть то, что на самом деле мы сейчас с тобой делали, это предсказывали позицию пьяницы. На самом деле это можно предсказывать позицию или частицы биологической, или, соответственно, цен на биржи.

Когда ты рассказываешь о частице чая в воде, это звучит, ну, прикольно как бы. А где это применяется? Где мы сталкиваемся с этим каждый день?

Самое простое, наверное, применение— одно из. Это диффузия лекарства в клетке. То есть, допустим, парацетамол, вам нужно, чтобы до ядра клетки лекарство попало. И это лекарство, оно будет диффузировать в этой сложной и очень-очень пористой такой среде. И в этой среде, соответственно, оценить время действия лекарства может тоже вот эта вот, собственно, теория задача пьяницы, потому что там у нас есть какие-то очень сложные среды, которые мы описываем движением, мы описываем какую-то плотность. Если мы знаем плотность, мы знаем, словно говоря, какие-то величины, которые есть, то уже, в принципе, с теорией, которая была разработана, мы можем делать хорошие приближения. Да, на самом деле каждый день у тебя есть какая-то задача про предсказание. Допустим, если мы скажем про задачу на бирже, они работают только в состоянии системы, когда это марковская система, то есть когда у нас нет никаких памяти. когда у нас нет памяти. И второе, когда у нас нет кризиса. То есть люди, которые применяют эти модели, они, естественно, как бы думают, о, клёво, вот сейчас я посмотрю вот эту твою модель, сейчас я её там в питоне запрограммировала, и сейчас я буду предсказывать, у нас будет какая-нибудь там величина средняя. На самом деле, что я не сказала, что у нас, на самом деле, очень часто в этих задачах есть так называемый дрифт, когда человек куда-то всё-таки хочет пойти. То есть вероятность пойти налево и направо, она не равна одной-второй.

пьяница чуть-чуть хромой.

Да, он на самом деле куда-то хочет больше пойти, то есть он узнал, он помнит, что вот там дом, и он хочет все-таки пойти направо с большей вероятностью, чем налево. Но он не уверен, но он как бы все-таки направо. Тогда на самом деле та же вероятность, она будет изменяться в сторону того, куда вероятность больше. И что самое интересное, что также на самом деле очень часто ведут себя цены на биржи, и что очень часто делают, когда они предсказывают, они пытаются смотреть на так называемые как бы разницы Потому что что происходит, когда происходит изменение цен на бирже? Люди, на самом деле, огромное количество людей, каждый момент времени, когда, например, пьяница решает, куда ему пойти, они огромное количество людей или решают, что они будут продавать или покупать. И, в принципе, это то же самое, практически то же самое, как и если бы я сказала бы, что я частица, и меня куда-то бросает налево, если огромное количество людей продало, Как когда в метро

все хотят выйти в сторону эскалатора, но самостоятельно ты этого сделать не можешь. Просто вы все вместе немножечко движитесь в эту сторону.

Да, по этой теории у нас уже есть какие-то процессы, где мы можем быть немного более умными и запоминать, что вот, на самом деле я пошёл туда, на самом деле это была нехорошая идея, то есть я пойду туда только после того, как я пойду туда.

Я бы хотел такой хороший, типа, пей-офф этой истории, такой, что, типа, вот люди сели, поняли про чай, поняли про раскрытие скобочек, и столько всего могут описать, и благодаря этому что-то могут предсказать. Такое есть вообще? Это, типа, применяется прямо в таком сыром лобовом виде?

Многие задачи, которые мы сейчас решаем на графах, да, то есть Graph Neural Networks

и всё такое, Так, теория графф— это когда у тебя есть вершины и дорожки между ними, как города и дороги между ними, или интернет-компьютеры, сервера и каналы связи между ними. Это всё описывается в теории графф. Что в теории графф связано со случайными блужданиями? Непонятно.

Да, вот это на самом деле тоже очень интересная связь, которую, наверное, можно сделать, объяснить таким образом, что вот если мы разобрались с тобой про задачу пьяницы, у нас была задача на двухмерии. И, конечно же, можно пойти в двухмерную решётку, там, где у нас есть, просто говоря, решётка. А что у нас будет, если у нас, соответственно, блуждание будет не по решётке, а будет оно по какому-то очень сложному графу?

И почему... То есть не когда каждый связан с четырьмя соседями, а, например, у кого-то два, у кого-то семь соседей.

И вот эти вот, на самом деле, решётки, естественно, да, то есть какие-то решётки неоднородные, они могут описывать сложные системы, например, какие-то пористые среды. И там, не знаю, когда мы изобретаем какие-то новые материалы или какие-то краски или что-то такое, начинаем разрабатывать, да и в той же медицине, то есть мы разрабатываем вещества, там свойства растворимости, да, диффузия— это всё очень часто применяется. именно там, когда мы пытаемся рассчитать, что нам какие-нибудь новые материалы для мака, для того, чтобы сделать его полегче, да, но чтобы свойства были такие же, чтобы свойства проводимости были такие же.

А, это когда вот типа новый пластик, типа суперлегкий и при этом не царапается, и вот это всё, это связано с делом, с задачей пьянина.

Да, мы должны каким-то образом сопоставить, да, и мы можем закодировать материал, например, вот таким, например, графовым способом. Но я рассказываю про это, потому что, на самом деле, мне просто была одна из задач, которой я сама занималась и занимаюсь, которая, соответственно, и состоит в описании определённой математической модели случайного блуждания на определённом классе таких графов. То есть это очень специфическая вещь для какого-то очень специфического приложения. Но в целом, то есть если мы описали задачу в одном мире, Эйнштейн— молодец, написал решение в двух мире, да, кто-то там, Муавра— молодец, написал это в каком-то дискретном виде. И вот так вот мы все вместе, всей такой большой научной какой-то тусовкой, мы описываем постепенно эту задачу в очень сложных контекстах.

Хочу еще какие-нибудь встречается задача пьяницы. Ты сейчас упомянула биологию, это диффузия лекарств в клетках. Ты упомянула финансы, предсказание того, что будет с ценами на акции. Про то, как материалы себя ведут. Теорию графов, но ты говорила только про физику.

Да.

Короче, где еще?

На самом деле, наверное, одна из самых таких тоже неожиданных вещей, наверное, было бы упомянуть, как люди перемещаются в городе. Но здесь вначале будет, конечно, сказать дисклеймер про то, что люди не перемещаются случайным образом. То есть я как бы, когда я с дома выхожу, у меня как бы время добежать до ближайшего метро и дальше ехать туда-то. И, слава богу, поезда случайным образом не ходят куда-то. Но если мы хотим описать, например, распределение вируса по городу, и когда там небезызвестный ковид, да, начался, то можно было проследить, когда у нас, например, кто-то первый приехал из Китая, и кто-то случайным образом тебя встретил и чихнул на тебя, ты потом подошел и, не дай бог, ты заболел, и потом каким-то образом... Вирус, на самом деле, в принципе, он и является случайным таким блужданием, он и является пьяницей. И, на самом деле, неизвестный Алекс Веспиньяни из Northeastern University написал потрясающие статьи про эту тему, потому что, на самом деле, каким образом на масштабах нашей планеты можно, имея, например, карту всех-всех-всех вот этих, например, перемещений самолётов, Да, авиаперелетов. Как можно было рассчитать время первого прохождения и нахождение вируса, например, в Москве? Как можно оценить время нахождения вируса в Москве? Через сколько времени он появится в Москве? Если мы знаем, что он начался в какой-то деревне, я могу это, в принципе, рассказать.

Казалось бы, что это суперслучайная хрень. Как ты можешь угадать, когда этот деревенский житель доедет до города в Ухане, до рынка и всё вот это?

В том-то и дело. И это красота случайных процессов, поэтому нужно читать книжки про это. Потому что красота случайных процессов в том, что про что-то очень-очень случайное можно с очень большой вероятностью сказать что-то очень определённое. Именно поэтому, когда начался ковид, Я помню сообщения людей в Твиттере от группы, например, типа людей-эпидемиологов, которые говорили о том, что «ну что, ребята, давайте мы рассчитаем, через сколько времени будут закрываться города». И эти люди, соответственно, это говорили ещё до того, как были какие-то меры предприняты в первых странах, в Италии, и закрыли всё на капельках. Это очень-очень простая вещь. Почему? Потому что мы говорили с тобой про задачу пьяницы. Можно откатиться немножко назад. Мы говорили про задачу пьяницы в двухмерии, когда у нас двухмерная решётка. Теперь у нас есть представь карта мира. У нас есть города, и у нас пьяница начинает свой полёт из какого-то города в другой город. И при этом, что интересно, что у нас вот эти вот рёбра, они не каждый момент времени активируются. Активируются они только тогда, когда пьяница перелетает. И пьяницы у нас являются этим вирусом, да, то есть вирус, он может передаться без какой-либо... то есть он будет передаваться, куда он может передаться, и это будет распределяться, как такая, знаете, ну, как такой чай, да, будет... Диффузия вируса происходит. Это будет диффузия вируса, да, именно. И когда мы должны рассчитать появление его в каком-то месте, то, зная частоту перелётов, зная карту, мы можем, мы же не знаем, кто конкретно, где, был, но у нас есть вероятность, которую мы будем применять, так называемые transition probabilities, да, то есть вот перелеты, они у нас будут заданы такой огромной-огромной матрицей, которую на самом деле у нас, в принципе, есть. Мы должны будем перемножать эти матрицы.

Это выглядит как граф, на самом деле. Чем больше перелетов, тем толще ребро между этими вершинами, тем точнее мостик.

Да, да, мы должны будем перемножать эти матрицы для того, чтобы посчитывать эти вероятности, и это будет очень таким красивым образом тоже связываться. И на самом деле, это было опубликовано, эти статьи, еще до ковида, да, то есть с учётом этой вероятности, и там это было сделано для коров. То есть этим занимался один из... А,

потому что для сельского хозяйства очень важно понимать.

Это очень важная задача. И мне казалось очень странным, как быстро это всё может распространиться. То есть если корова одна заболеет, то очень быстро, буквально за неделю, очень много коров могут погибнуть из-за того, что, к сожалению, люди слишком поздно это, ну, как называется, patient zero... Узнают. Да, узнают. Но чем быстрее поймешь, где радиус вот того... То есть это будет, конечно, не как радиус распространяться, это уже будет всё, конечно, неоднородно. Но красота в том, что ты можешь понять, какая вероятность, и меньше коров изолировать бедных животных для того, чтобы понять, оценить в том, как это распространяется.

Супер кайфно. Я когда говорю про теорию графов, я вообще сразу думаю про интернет. Это где-то в интернете применяется, блуждание пьяницы. Это есть где-то в IT? Потому что все, что мы сейчас пока обсуждали, это такой реальный мир непрограммистский, короче.

Ну да, конечно. Information spreading, да. То есть и тот же на самом деле какие-то новости, когда мы говорим про распространение каких-то эпидемий, не дай бог. Или мы говорим про распространение новостей, которым кто-то прочитал, что-то рассказал кому-то, и мы начинаем перепостивать это. И это, в принципе, когда мы делаем репост-не-репост, то это будет propagation-no-propagation. То есть у нас, в принципе, это будет распространяться всё на графе, и очень здорово, что мы Вначале с тобой поговорили про какую-то двухмерную, простую очень такую систему, а потом мы начали про это говорить уже в системе, которая, ну, сложная, графовая. То есть мы перепощиваем это всё в такой сети, и у нас очень много людей распространяется очень похожим образом. Но я не хочу тоже упасть здесь в такую, знаете, крайность, сказать, что вот всё похоже.

сказать, что вообще всё определяется случайными процессами?

Да, будет здесь... Это несправедливо сказать, и социологи тоже будут бросаться камнями, потому что, конечно же, здесь всё сложнее. То есть случайные процессы, они для чего очень важным образом нужны? Для построения так называемых нулевых моделей. Вот что такое нулевые модели? Допустим, если у тебя есть какая-то физическая система, например, человек гуляет по парку в городе или, например, он покупает что-нибудь в супермаркете, Я могу сказать, что вот я построила модель, прийти в супермаркт и сказать, знаете, я вот предсказываю, что вам будет там колбаса, вам будут покупать, человек 500 чая купит, и у меня будет модель эта работать. Но если я тебе не представлю какую-то нулевую модель, то моё предсказание и та моя модель, она на самом деле будет, ну, я бы сказала, её цена этой модели, она будет ниже. Почему? Потому что у нас нет нулевого, какого-то представления о какой-то системе, что такое нулевое представление, то есть это как бы совершенно какое-то случайное поведение этой системы, о чём я говорю. Допустим, да, ты не знал, что написал Эйнштейн в 1905 году, и ты как-то случайным образом вот твою систему, модель, она у тебя на самом деле совпадает с тем, что пойдёт вправо или впадёт влево с вероятностью A или B. То есть я вот случайно покупаю колбасу или случайно покупаю молоко. Ну, условно говоря, я, конечно, не буду сейчас утрировать. То есть там или покупаю молоко от какого-нибудь весёлого молочника или там что-нибудь ещё. То есть я это всё как бы случайным образом делаю. На самом деле всё это, конечно, не случайно, но иногда наши модели, которые очень супер-суперсложные, бывают, предсказывают как бы даже хуже, чем какие-то случайные. Поэтому очень часто мы должны всё-таки всё это проверять на каких-то вещах таких.

Азартные игры, они описываются блужданиями-пьяницами? Это случайный процесс?

Конечно. Но только нужно понимать здесь тоже очень чётким образом, что в азартных играх у тебя есть какие-то определённые стратегии. И когда у тебя есть какие-нибудь стратегии, то всё, конечно, очень сильно изменяется, очень много появляется каких-то даже несозависимых вещей. А у тебя есть что-то вроде памяти, вот. И если у тебя есть какая-то, например, память, то у тебя эта система будет разваливаться. предсказания, да? Есть такая теория, точнее, задача о разорении игрока. О чём вообще эта задача? Мы с Недобои набросаем монетку... Орёл и решка. Да, Орёл и решка. И задача стоит в том, что тебе нужно за какое-то время понять, какое время тебе нужно, чтобы куда-то дойти, ну, собственно говоря, какое-то тебе... В смысле, заработать денег или... Заработать денег, да. И какое время, допустим, тебе нужно, там, не знаю, остановиться, вот, или какое время у тебя будет разорение полностью, да, или

там... В какой момент надо выйти из казино? В общем, задача такая. А это же классическая задача пьяницы, только он хромой на одну ногу, и ты всегда уходишь в минус лево, да?

Да, фактически да.

Такая идея?

Да.

То есть в первый раз, когда я попал направо, можно сразу уходить из казино?

Да, условно говоря, да. Но в принципе, в принципе, да, то есть здесь очень интересно то, что на самом деле, как ты правильно сказал, что там это всё очень unbalanced, то есть у нас не будет там А и В равняется 1 и 2, естественно, а всё это будет равняться... И что интересно, не 1 и 2, это будет равняться А от Т. То есть, условно говоря, эти вот все стратегии, и в казино это тоже очень интересно, про счёты, очень можно делать. Вначале, на самом деле, чтобы людей заманить, вероятность выиграть, она будет, конечно, больше, да, чем потом.

Серьёзно, что ли?

В какой-то момент времени, я не буду сейчас врать, как это, чему это равняется, МФТ, или это будет, там, Мин... first passage time или что-то еще, но в очень определенный момент времени это будет резко меняться. То есть вы этого не видите, потому что это настроено по-другому. Вы это не чувствуете, потому что, в принципе, это все случайно, да? То есть в том-то и дело, что как бы ваш выигрыш в какой-то определенный момент времени, даже если, например, вариатность пойти налево ниже, Но она всё равно не нуль. Вам будет казаться, ну блин, ну точно не ноль. Ну точно, я же могу попасть влево. И в этом смысле это очень интересная задача. В какой момент времени нужно менять A и B... Вероятности. Вероятности, да, чтобы человек всё-таки остался. И это всё-таки связано ещё с тем моментом, когда люди теряют внимание. То есть в какой-то момент человек начинает просто уставать, и он уже просто... А, уставать и... Ага.

Люба, я когда еще готовился, прочитал, что размер интернета предсказывают с помощью задач пьяницы. Что это такое? Слышала про это? Я немножко растерялся, на самом деле.

Недавно ребята из Barabasi Labs, то есть люди, пытались посчитать, например, как далеко можно уйти, если вот ты начинаешь уходить из какого-то места в интернете, куда ты попадешь, если ты случайным образом тоже будешь переехать. Да, по ссылкам. И это тоже можно... то есть это такая, получается, сеть, поскольку ты случайным образом куда-то переходишь, и поскольку у тебя всё-таки есть вероятность очень большая, что ты будешь опять возвращаться в какие-то места, где у тебя много-много скопления.

Понимая систему по тому, как себя ведёт конкретно пьяница, ты можешь узнать параметры пространства, в котором эта пьяница находится. Так это работает?

Да, у тебя есть большой-большой граф. Что такое граф? Ну, это социальная сеть. Эта социальная сеть у тебя устроена таким образом, что у тебя есть люди... Люди

и дружба между ними.

Да, и они могут каким-то образом обмениваться сообщениями. Что важно, что в этой задаче есть такая подзадача понять, как компьютер, то есть он пока не очень умный, вот мы его обучаем, как он может быстро найти нам в этой задаче про граф под комьюнити.

То есть людей, которые связаны друг с другом.

Да, которые именно дружат друг с другом. Которые дружат больше, чем с людьми вокруг них.

А, то есть такая плотно связанная сеть типа людей, которые друг друга все лайкают, дружат и вот это всё.

Да, и вот этот вот плотно связанный комок на самом деле очень странным образом, поскольку он не очень хорошо формализован, это как раз таки является таким bottleneck вот в этой задаче. То есть как бы сложным местом.

Типа сложно выделять эти группы.

Да, сложно выделять эти комьюнити. Есть очень много алгоритмов, какие-то алгоритмы, которые у тебя будут показывать эти графы очень классным способом, так называемым в теории графов это мы называем layout.

Как расположить эти людей на плоскости так,

чтобы... Да, так, чтобы это все не пересекалось, но даже... То есть на глаз я смогу тебе сказать, вот сама смотри, вот у меня есть одно комьюнити людей и второе. Но когда ты пытаешься это все сделать численно и просто научить компьютер, И на масштабе типа миллиард. Да, на масштабе миллиарда, да, и тебе это нужно сделать за считанные минуты, да, или там секунды, потому что на самом деле эта задача естественным образом будет связана с тем, как информация пересылается и распределяется, да, в социальных сетях.

Сколько тебе серверов нужно, короче.

Да, сколько тебе нужно серверов.

Прям практические задачи. Я внезапно задумался, что спецслужбы точно это пытаются сделать. Типа вот я один раз случайно с террористом переселся в такси. Я уже в террористической организации или еще пока нет?

Действительно, вероятность пересечения человека, то есть, например, там какой-то лайк поставил человек, условно говоря, это вот у него уже связь или просто он как бы, ну, просто вот у него есть какое-то взаимодействие?

Вот я, кстати, да, не понял, Люба, где тут как бы случайный процесс-то, потому

что... Так вот, да, мы сейчас как раз приходим к ним. Мы уже определили, допустим, с вами, что мы хотим за какое-то очень быстрое время найти там в Фейсбуке, да, например, каком-нибудь комьюнити людей, которые каким-то образом вот они взяли и вот так вот появились вдруг. за считанные дни. Естественно, что мы делаем с графами, мы смотрим на их матрицы смежности. То есть матрица смежности – это, если простым образом объяснять, это такая красивая математическая презентация этого табличка, которая ваш граф просто кодирует к компьютеру, потому что кто с

чем связан, Все строки – это люди, и все столбцы – те же самые люди. По диагонали у нас нули, а что у нас в пересечении?

А у нас будет один, если человек с друг другом, например, связан, и если он не связан, то ноль, да. То есть у нас просто это вот нули-единицы – это такая вот матрица, которая у нас кодирует этот граф. Из этой матрицы вычислить какие-то значения, и они будут очень-очень связаны с так называемым спектральным разрывом у этого графа. Но что такое спектральный разрыв, мы не будем говорить, потому что мы хотим просто вам сейчас дать ответ, каким образом посчитать комьюнити, да, и как это связано вообще с какими-то спектрами матриц. На самом деле проблема в том, что у матрицы, там, миллион на миллион, ты будешь очень долго считать вот эти спектральные значения этих матриц. Поэтому проще, ну, проще тоже, опять-таки, в каких-то определенных условиях, когда графы очень-очень разреженные, потому что, на самом деле, если ты

знаешь, то... В Фейсбуке 2 миллиарда людей, у меня всего 2 тысячи друзей.

Да-да, они очень-очень разрежены, то есть у нас есть спектральные свойства, они будут существовать у так называемых очень разреженных матриц. Быстрее бывает запустить случайное блуждание и посчитать у него, какой вероятностью он будет оставаться в каком-то комьюнити. Вот если он остаётся в какой-то поделённой области графа, то это и является определением комьюнити у графа.

И если ты, скорее всего, несколько раз этот же эксперимент проведёшь, то ты с высокой вероятностью получишь... Ты узнаешь свойства этого пространства. Мы знаем, как себя пьяница ведёт. И если ты выпустил пьяницу, и он там укатился сильно вправо, это значит, скорее всего, у тебя земля скользкая и наклонно вправо. Ты узнал что-то о мире по поведению человека, поведение которого ты знаешь.

Да.

Офигенно. А, вот теперь стало понятно, как можно предсказать размер интернета просто по тому, как

ты... Как ты по нему диффузируешь, да. То есть ты можешь, получается, смотреть не просто свойства интернета как сети, которая будет абсолютно вся друг с другом связана, но ты можешь посмотреть на какую-то сеть, насколько она неоднородна и насколько эти свойства могут потом тебе говорить про скорость распространения, например, новостей в среднем. Потому что в среднем, в принципе, это важно оценивать.

Офигенно. А теперь минутка рекламы. Я хочу вам посоветовать подкаст студии Либо-Либо. Он называется «Закат Империи». Он о том, как жили люди до революции в Российской Империи. Как они относились к домашним животным, как знакомились, занимались любовью и просто тусовались. В общем, это похоже на то, как будто вы листаете Инстаграм или ТикТок 100-летней давности. Обо всем этом рассказывает ведущий Андрей Аксенов. А еще там отличный саунд-дизайн. «Закат Империи» есть на всех платформах. Ссылка в описании. Есть ли конкуренты у «Задача пьяницы» и у формулы, которую мы получили? Это единственный способ описать случайные процессы или есть другие подходы, другие методики?

Наверное, ответ будет, что я не знаю таких теорий. Всё-таки хорошая модель— это не только модель, которая предсказывает тебе, там, завтра будет погода какая-то, солнце будет светить или что-нибудь ещё, случится, динозавров встретишь. А модель хороша, когда всё-таки у неё есть, ну, условно говоря, сила внутренней красоты. О чём-то говорит, что у тебя, допустим, есть очень часто в математике вот такое описание, которое каким-то образом совпадает с чем-то ещё. Помните, когда мы говорили про пьяницу и про раскрытие скобочек, условно говоря, у тебя эта модель, она как-то очень парадоксально, мистическим образом, на самом деле, совпадает с каким-то математическим... Всё сложилось. Да, всё сложилось, да. И вот когда это всё сложилось, оно действительно очень похоже на правду. Вот какая-то есть интуиция.

И минимально возможной, скорее всего, ещё она должна быть. Это тоже ценность.

она должна опередаться в какую-то очень, если не известную, но, по крайней мере, глубокую, хотя тоже очень всё рукомахательно сказано, глубокую, но да, глубокую какую-то теорию. И в этом случае теория будет, соответственно, Эйнштейна или теория молекулярного строения вещества. Мы обязательно должны понимать, что здесь это не теория вероятности, которая работает для того, чтобы посчитать что-то просто, чтобы посчитать, чтобы было, а это тоже работает для того, чтобы наше понимание о мире было более стройным, что ли. Очень, наверное, хороший пример. Это пример предсказания длительности жизни, например. То есть у нас есть задача про распределение и предсказание так называемой выживаемости. То есть как бы это дико.

что мужчины живут в России меньше, чем женщины. Ты про это?

Например, даже про вот это, да, то, допустим, мы можем посмотреть на данные, которые, может быть, даже открыто я не смотрела по России статистику, но в некоторых госпиталях у нас, допустим, есть очень важная статистика по, например, какой-то заболеваемости. Кстати, очень важный момент здесь, когда вот мы говорим про теорию вероятности, что она может описать, ну, всё, что угодно, на самом деле надо быть очень аккуратным, потому что, когда мы работаем с какой-то физической системой, мы должны чётко понимать, какие у нас здесь условия есть. Когда у нас есть условия, Например, что у нас мужчины, например, в какой-то стране, например, умирают в среднем быстрее, чем женщины. Но, опять-таки, мы должны смотреть через статистику по, например, заболеваемости, по, не знаю, сердечно-сосудистым заболеваниям. Потому что, если мы сейчас будем обобщать на все заболевания, то, возможно, это как раз таки статистика будет неверна. Потому что, когда мы говорим про нормальную распределение или центральную предельную теорему, у нас есть очень-очень важные условия. И это было важное условие для того, чтобы вся эта теория работала и чтобы всё сходилось, да, скобочки открывались.

Если процесс случайный.

Случайный процесс. И ещё очень важно, что все-все-все вещи, которые как бы там происходят, что такое значит? Что значит вообще, в принципе, случайный процесс? Это что вот действительно, чтобы он был случайным, все инкременты, как они их называют, или слагаемые, они тоже очень случайны и они независимо распределены. Что значит независимо? В том смысле, что если у тебя нет, как мы говорим в теории causal learning, да, Сейчас это называется hidden confounders.

Скрытые созависимости?

Да, то есть когда у тебя есть какой-то слон в комнате, которого ты на самом деле просто не принимаешь ко вниманию.

Например, типа это не обычная клиника, а это клиника администрации президента. Там все старпёры, но при этом очень хорошо за ними ухаживали всю жизнь. Они все мужчины.

Да, например. И это очень важная вещь, потому что если мы будем строить какие-то там кривые и будем смотреть, вот, например, человек с какой-то вероятностью точно, например, будет реанимирован или что-то ещё, мы должны точно понимать, что у этих всех людей есть какое-то одинаковое поле, иногда вероятности мы называем Или когда

Трамп так легко выздоровел от ковида, потому что его как бы зарядили там по полной. Среднего человека так делать не будут. Очень классно. Ещё хочу про это всё понять вот какую штуку. Я понял, что блуждание пьяницы— это такая модельная задача, начиная разбираться в которой ты очень много можешь понять про мир вокруг нас. И это, типа, такая кроличья нора. Типа, ты начинаешь с неё проваливаться, и всё. Типа, весь мир можешь описать через эту штуку. Насколько хорошо нужно понимать всю эту математическую теорию, чтобы её применять на практике? Или это уже какие-то готовые алгоритмы, модели, которые ты просто такой, типа, я, типа, не знаю, как это работает, зато я знаю, что это работает.

Да, на самом деле это очень релевантный вопрос, потому что небезызвестны всякие вот эти статьи про предсказания, например, там, на выборах, да, в Америке, или, например, про поларизацию, которая каким-то образом будет объяснять все эти вот какие-то социальные там различия в социальной сети, кто за что будет там, кто против кого. Это всё, конечно, можно сказать, есть же какие-то алгоритмы, ну точно можно там нажать, соответственно, на кнопочку, всё посчитается. Нужно различать две вещи. Каким-нибудь, например, лёвым алгоритм для community detection, соответственно, для определения комьюнити в интернете. Да, можно его посчитать, мы можем его применить, но мы обязательно должны знать про ограничения этих алгоритмов. И обычно это как раз то, что пишется маленьким-маленьким шрифтом в конце алгоритма. Смотрите, внимание, это всё работает только на статичном графе размера какого-нибудь там n меньше 1000, да, и вот типа не поменяете это в том случае, когда вот бла-бла. И это обычно очень, конечно, приводит к каким-то confusing results, но, слава богу, у нас есть peer review, то есть peer review – это когда, например, в статье Nature кто-нибудь написал что-то, и если вдруг кто-то там нашёл ошибку, да, или там кто-то сделал не то, то мы об этом напишем открыто. То есть, в этом смысле Open Science и вот все эти, конечно, инициативы, они очень помогают этой комьюнити каким-то образом как-то усмирять. Просто потому, что если кто-нибудь найдет ошибку, ну, всем будет от этого хорошо, во-первых. А во-вторых, если мой код кто-то будет использовать, то от этого, на самом деле, всем станет лучше. Потому что, на самом деле, конечно же, чем больше людей будет вместе работать, да, тем как бы будет лучше быстрее всё это развиваться, потому что с 1905 года очень много было каких-то таких откатываний, когда люди не работали друг с другом, были какие-то границы между научными сообществами, и это, в принципе, препятствовало очень нормальному обмену, который, я надеюсь, сейчас тоже будет как-то налаживаться.

Правильно понял, что результатами задачи пьяниц и моделями, которые ты строишь, пользуются обычно все-таки ученые. Это не просто алгоритм поиска под строки в строке, который любой программист у себя там типа find использует функцию. Это какие-то более сложные вещи, и люди, которым пользуются, они обычно профессионалы все-таки.

Ну, скажем так, и да, и нет, потому что, да, мой код, мы его выкладываем на GitHub, и у нас есть всегда со студентами какие-то модели, которые, в принципе, если у тебя есть конкретная задача посчитать, например, время первых прохождений на определенных графах, то вот, пожалуйста, Это когда вирус доедет до Москвы. Да, например, да. То, пожалуйста, открывай и вот прям применяй. Но если у тебя есть какая-то другая задача, то, конечно, это становится сложнее. И это, наверное, большая тоже проблема, в принципе, в науке, что вот нет такой прослойки между учёными и неучёными. Я бы не хотела сказать здесь именно учёными, я бы сказала, академии, в которой никто не даёт какой-то возможности, наверное, все свои результаты объяснять кому-то, потому что, чтобы получить финансирование, очень часто люди просто ведут и пишут больше статей, а не идут и говорят, например, с докторами, которые могли бы эти вещи у себя уже применять.

Последняя пара вопросов. Ты про это говорила, что до сих пор люди продолжают делать конференции и изучать всю эту тему. Ну, в смысле, изучать случайные блуждания. В чём там прикол? Они берут всё более сложные пространства, типа трёхмерный, N-мерный, обобщают это. Или они, наоборот, берут всё более конкретные узкие области применения и там что-то докручивают?

Да, и то, и другое, на самом деле. Потому что есть так называемый, например, конгресс Смолуховского, он каждый год объединяет людей, которые занимаются этим в медицине, в какой-нибудь там эпидемиологии, в транспорте, в каких-либо системах, где у тебя есть очень много пока неизвестных, ну, скажем так, численных условий. И, наверное, почему люди продолжают этим заниматься? Наверное, по двум простым причинам. Ну, потому что это красивая теория, да, и люди вообще, в принципе, любят красивые вещи. Ну, это действительно кайф получить какое-то численное решение, и когда оно совпадает с аналитическим, ну, я тоже испытываю действительно какое-то такое математическое удовольствие от этого и радость. Второй, конечно, потому что это может помочь, например, упростить или что-то убыстрить, какой-то алгоритм, который тебе должен там в каком-нибудь комьюнити считать, Санта-Фортуната это считает в Италии у себя. Я к нему прихожу и говорю, вот, смотрите, я могу это за какое-нибудь другое время. И это тоже, в принципе, продвигает нас, скажем так, мы понимаем наши новые какие-то лимиты. То есть это что-то вроде из-за разряда того, что мы понимаем на самом деле, что мы понимаем. То есть это и в случае задач про наш мир, про какие-то живые системы и про неживые. Потому что когда Браун посмотрел в свой микроскоп, посмотрел, частицы двигаются, он вначале подумал, естественно, как и любой другой, что, ну, конечно, живые, ну, живые, ну, точно живые. Потом он посмотрел это в скале, по-моему, отколотой от пирамиды египетской, потому что тогда кто-то ему привез эту скалу, да, и это точно не живое. И после этого они такие подумали, а может быть, точно не живое, да, и уже как бы уже после этого как бы уже, знаете, проведешь много экспериментов таких, и уже точно подумаешь, что нет.

Классная история в пирамиду. Люба, я сегодня много всего узнал нового, наверняка слушателей тоже. Концепции новые. Скажи, можно ли что-то из этого применять в моей обычной жизни? Например, когда я принимаю решение как-то опираться на теорию случайности, на теорию выжизнения пенсии.

Да, конечно, если вы не знаете, куда вам двигаться, условно говоря, и у вас возможности или пойти направо, или пойти налево, то вы очень будете, скорее всего, медленным образом двигаться куда-либо, то есть вы будете

очень-очень медленным образом... А, то есть мы будем ходить туда-обратно.

Да, вы будете сходить туда-обратно. То есть на самом деле это, наверное, очень метфизическая какая-то такая задача в том смысле, что она и в пространстве возможности, в принципе, тоже работает. То есть мы можем смотреть его в этом смысле. То есть на самом деле лучше определиться, потому что иначе вы просто никуда не будете двигаться, потому что там куда-то двигаться в какой-то направлении. Вот. Ну, конечно, про задачи на бирже, то есть я, на самом деле, тоже не советовала бы применять эти процессы по двум простым причинам, потому что системы бывают часто с памятью, то есть опять, не марковскими, и бывают очень кризисными. Не нужно эти все. И смотреть, на самом деле, конечно, проверять тысячу раз, кто написал эту модель. То есть когда вы применяете какой-то код, тоже смотреть, какие ограничения нам маленьким шрифтом написаны под кодом.

Финальный вопрос. Что про это почитать, если мне стало интересно?

Ой, много чего можно почитать. Мы, по-моему, действительно говорили про несколько книжек про это. На самом деле есть потрясающая книжка, которую написали два человека. Один из Израиля, другой наш соотечественник Клафтер и Соколов. «Случайные блуждания». Точнее, там на самом деле очень красивое название. Да, и, кстати, ты мне эту книгу как-то раз подарил.

Мне кажется, да.

Да, это именно была та книга. Вот, и значит, эта книга, она крошит тем, что она очень математическая, но она как бы тебя действительно вводит вот всю эту красивую теорию случайных блужданий и теории вероятности. Потом есть, конечно же, теории процессов, Колмогорова, теории вероятности, но самое, наверное, такое общее было бы читать какую-то книжку или даже Эйнштейн, если вы хотите почитать, на самом деле за что он получил премию, или почитать современные работы швейцарского учёного Стаса Смирнова, который тоже, соответственно, очень много этим занимается и применяет это в огромном количестве красивых случаев.

Спасибо тебе огромное. Мне очень-очень понравилось.

Спасибо.

Это подкаст студии Либо-Либо, и сделали мы его вместе с сервисом онлайн образования Яндекс Практику. Над подкастом работали редакторка Маша Агличева, продюсерка Настя Медведева, звукорежиссер Юрий Шустицкий. За джингл спасибо Алексею Зеленскому. Редактор субтитров Т.Горелова Корректор А.Егорова